Глава XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Векторные функции нескольких скалярных аргументов

1. Определение векторной функции.

Если каждой системе значений переменных скаляров из некоторой области их изменения соответствует определенное значение переменного вектора то скаляры называются аргументами, а вектор их функцией:

Функция называется непрерывной при данной системе значений аргументов, если при их бесконечно малых изменениях фупкция меняется бесконечно мало:

2. Частные производные и частные дифференциалы векторной функции.

Как и в обычном анализе, возникают понятия частных производных и дифференциалов.

Частной производной векторной функции по одному из аргументов называется ее обычная производная по этому аргументу, вычисленная в предположении, что остальные аргументы рассматриваются как постоянные:

Частным дифференциалом функции R по одному из независимых аргументов называется произведение частной производной от нее по этому аргументу на его приращение:

В дальнейшем будет предполагаться, что частные производные существуют и непрерывны при рассматриваемых значениях аргументов.

3. Полный дифференциал векторной функции.

Полным дифференциалом функции нескольких аргументов называется сумма ее частных дифференциалов по всем ее независимым аргументам:

Согласно этому определению полные дифференциалы независимых аргументов совпадают с их приращениями:

Если аргументы функции сами являются функциями от других аргументов то применимо обычное правило дифференцирования сложных функций:

Из этих формул непосредственно следует свойство инвариантности полного дифференциала относительно преобразований аргументов:

4. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.

Частные производные высших порядков от функции многих аргументов определяются обычным способом:

В дальнейшем всегда будет предполагаться, что все встречающиеся частные производные не только существуют, но и непрерывны при рассматриваемых значениях аргументов. Вследствие этого будет иметь силу теорема о независимости частной производной от последовательности дифференцирований:

Точно так же обычным способом определяются и полные дифференциалы высших порядков:

Если, папример, есть функция двух независимых аргументов то

и мы получаем

Если же аргументы сами являются функциями, то

Во всех случаях справедлива обычная формула Тейлора