§ 4. Выражение векторно-скалярного произведения через скалярные произведения

1. Основное тождество, связывающее квадраты скалярного и векторного произведений.

Обозначим через угол между векторами Тогда

Возведя эти равенства в квадрат и сложив, мы получим следующее тождество:

Но квадрат модуля вектора равеп скалярному квадрату этого вектора. Поэтому

в силу чего предыдущее тождество принимает такой вид:

Это тождество мы и будем называть о с Его полезно сформулировать так: сумма квадратов скалярного и векторного произведений двух векторов равна произведению квадратов этих векторов.

2. Формула, выражающая векторно-скалярное произведение через попарные скалярные произведения сомножителей.

Квадрат векторно-скалярного произведения трех векторов, т. е.

можно рассматривать как квадрат скалярного произведения двух векторов: .

Согласно основному тождеству (4.32) квадрат скалярного произведения двух векторов равен произведению квадратов этих векторов минус квадрат их векторного произведения. Поэтому

Квадрат векторного произведения мы пайдем, пользуясь основным тождеством (4.32):

Для вычисления квадрата векторно-векторного произведения воспользуемся формулой разложения (4.11) этого произведения:

Подставив все это в выражение для квадрата векторно-скалярного произведения (4.33), мы получим

Эта формула и является по существу искомой. Мы только приведем ее к более удобному для запоминания виду.

Для этого перегруппируем члены так:

Нетрудно видеть, что правая часть представляет собой развернутый определитель третьего порядка. Окончательно формула принимает такой вид:

Как мы увидим, эта замечательная формула вместе с формулой разложения векторно-векторного произведения в известном смысле замыкает всю векторную алгебру, позволяя все вычисления сводить к вычислениям лишь скалярных произведений.