§ 2. Основные задачи, связанные со скалярным умножением векторов
Задача 4. Определение модуля вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
В силу этого
Итак, модуль вектора равен квадратному корню из 
лярного квадрата этого вектора.
Пример 1. Даны длины 
с трех ребер 
параллелепипеда, исходящих из одной вершины О, и плоские углы 
у при той же вершине (рис. 59). Требуется найти длину диагонали параллелепипеда, исходящей из той же вершины О.
Рис. 59.
Указанные ребра 
будем рассматривать как векторы 
Тогда вектор диагонали 
мы найдем по правилу многоугольника:
Скалярный квадрат этого вектора равен
Следовательно, длина диагонали 
равна
Задача 5. Определение орта вектора. Вектор а равен произведению своего орта 
на свой модуль а:
Отсюда находим
Итак, орт вектора равен отношению этого вектора к его модулю.
Задача 6. Определение угла между двумя направлениями в пространстве. Пусть два направления в пространстве определены векторами 
и пусть 
угол между ними (рис. 60). Тогда по определению скалярного произведения
откуда
или
Итак, косинус угла между двумя направлениями равен скалярному произведению ортов этих направлений.
Рис. 60.
Пример 2. Определим угол между диагональю 
и ребром 
параллелепипеда, указанного в предыдущем примере (рис. 59). Имеем
Следовательно,
Задача 7. Определение скалярной и векторной проекции вектора на ось. Проекция 
вектора а на ось 
равна произведению модуля а вектора на косинус угла 
между вектором и осью (гл. II, § 1):
Но косинус угла 
между направлениями вектора а и оси
равеп скалярному произведению ортов этих направлений (задача 6):
Следовательно,
или
Итак, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на орт оси.
Как мы уже отмечали (гл. 11, § 1), из определения скалярной и векторной проекций следует, что векторная проекция вектора на ось равна произведению скалярной проекции на орт оси:
