2. Поверхность в декартовых координатах.

В пространстве, отнесенном к декартовой системе координат поверхность часто определяют уравнением, которое связывает координаты х, у, z ее текущей точки и разрешено относительно одной из них:

Таким образом, уравнением поверхности является такое уравнение (11.18), которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и только они.

Имея такое координатное уравнение поверхности (11.18) и пользуясь разложением радиуса-вектора

текущей точки по ортам координатных осей:

мы можем сразу написать векторное параметрическое уравнение поверхности:

Роль параметров в этом уравнении играют две декартовых координаты х, у.

Обратный переход от векторного параметрического уравнения поверхности

к координатному уравнению (11.18) более сложен и связан с ограничительными предположениями. Спроектировав радиус-вектор текущей точки параметризованной поверхности (11.20) на координатные оси, мы получим ее декартовы координаты х, у, z как функции от параметров

Ясно, что эта система трех координатных параметрических уравнений равносильна исходному векторному уравнению (11.20). Определив из первых двух уравнений параметры и как функции от двух декартовых координат х, у и подставив эти функции в третье уравнение, мы получим координатное уравнение

При этом ясно, что возникает вопрос о возможности и однозначности разрешения двух уравнений системы (11.21) относительно параметров Исследование этого вопроса является достаточно сложным, и мы его проводить не будем, поскольку основную роль у нас будет играть векторное параметрическое уравнение, а не координатное.