§ 2. Дифференциальные операции в криволинейных координатах

1. Градиент в криволинейных координатах.

Пусть в некоторой области пространства, отнесенного к системе криволипейных координат определено поле скаляра причем этот скаляр задан как функция криволинейных координат

Его полный дифференциал

можно представить как скалярное произведение двух векторов следующим образом:

Так как второй множитель в этом произведении есть дифференциал радиуса—вектора текущей точки, то, согласно формуле (12.8), первый мполштель есть градиент поля:

Итак, градиент поля в криволинейных координатах определяется формулой

Эта формула представляет градиент поля в виде его разложения по векторным произведениям векторов подвижного репера.

Замечание. Чтобы получить формулу, дающую разложение градиента поля по самим векторам подвижного репера, мы воспользуемся формулой разложения (5.24) векторного произведения по трем некомпланарным векторам. Тогда получим

или