§ 3. Векторно-скалярное произведение трех векторов

1. Векторно-скалярное произведение и его геометрический смысл.

Векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, т. е. произведение вида

Смегааппое произведение представляет собой скаляр. Выясним его геометрический смысл.

Обозначив

получим

Чтобы истолковать получепный результат, мы построим на векторах с параллелепипед, основанием которого будем считать параллелограмм со сторонами Площадь этою основания такова:

Обозначим через высоту, опущенную на ото основание. Тогда объем V параллелепипеда определится известной формулой

Теперь нам придется различать два случая.

Рис. 54.

Рис. 55.

В первом случае, когда перемножаемые векторы с образуют правую систему (рис. 54), т. е. когда из конца третьего вектора с новорот от первого вектора а ко второму виден происходящим против хода часовой стрелки,

и формула (4.16) примет вид

Таким образом, векторно-скалярное произведение трех векторов, образующих правую систему, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Во втором случае, когда перемножаемые векторы с образуют левую систему (рис. 55), т. е. когда с конца третьего вектора с поворот от первого вектора а ко второму виден происходящим по ходу часовой стрелки,

и формула (4.16) примет вид

Таким образом, векторно-скалярное произведение трех векторов, образующих левую систему, отличается только

знаком от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах.

Итак,

причем знак получается, когда перемножаемые векторы образуют правую систему, и знак когда их система левая.

Отсюда следует, что объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их векторно-скалярного произведения: