Глава V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ

Целью настоящей главы является изучспис выражений, которые можно составлять из векторов и скаляров при помощи операций векторной алгебры и аналитических функций математического анализа. Основными и простейшими являются линейные комбинации векторов, рассмотренные в первой главе, скалярные и векторные произведения, рассмотренные в третьей главе, а также произведения троек векторов, рассмотренные в четвертой главе. В настоящей главе мы предварительно рассмотрим важные формулы для преобразования произведений, а уже затем перейдем к более общим выражениям, которые можно составить из векторов.

§ 1. Произведения четырех векторов

1. Типы произведений четырех векторов.

Все произведения четырех векторов можно получить следующими двумя способами: 1) умножением произведения трех векторов на четвертый вектор; 2) умножением произведения двух векторов на произведение двух других векторов.

В соответствии с этим возможны лишь следующие типы нроизведений:

Не все девять получившихся произведений различны между собой.

Действительно, во-первых, мы знаем (гл. III), что скалярный множитель можно выносить за знак скалярного и векторного произведения. Поэтому

Во-вторых, считая векторное произведение за один вектор, мы можем рассматривать как векторно-скалярное произведение трех векторов: Применив к нему закон сочетательности, получим

Итак, остаются только шесть типов произведепий четырех векторов:

Мы покажем теперь, что четыре последних произведения являются линейными комбинациями из произведений первых двух типов, которые и следует считать основными.