§ 5. Простейшие векторные уравнения
Задача 19. Определение вектора по векторному и скалярному произведениям. Требуется определить неизвестный вектор 
из системы двух уравнений
где скаляр X и векторы 
с считаются известными, причем предполагается, что вектор а перпендикулярен вектору 
и не перпендикулярен вектору с, т. е.
Умножив векторно первое уравпение системы на вектор с, мы получим
или
откуда, воспользовавшись вторым уравнением системы, мы
найдем
Подстановкой в уравнения нашей системы можем убедиться, что получепный вектор им удовлетворяет.
Итак, рассматриваемая система имеет единственное решение.
Задача 20. Определение вектора по векторному произведению. Требуется найти пеизвестный вектор 
из уравнения
где 
известные взаимно перпендикулярные векторы.
Скалярное умножение решения 
этого уравнения на данный вектор а дает некоторый скаляр т. е.
По скалярному и векторному произведениям мы теперь найдем вектор 
:
Обозначив 
мы получим
Нетрудно убедиться подстановкой, что при любом 
полученный вектор 
удовлетворяет уравнению (6.45). Следовательно, общее решение (6.47) нашего уравпения содержит в своем составе произвольный скаляр 
Замечание. При 
получается единственное решение, расположенное в плоскости, перпепдикулярной вектору а. Это частпое решение имеет вид
Задача 21. Определение вектора по скалярному произведению. Требуется определить неизвестный вектор 
из уравнения
Пусть 
есть решение этого уравнения. Умножив его векторно на а, мы полупим некоторый вектор 
На основании найденпой выше формулы (6.46) мы найдем теперь
Обозначив 
получим следующую формулу для решения:
- Нетрудно убедиться, что при любом векторе В (даже не обязательно перпендикулярном к а) полученный вектор 
удовлетворяет уравнению (6.49). Таким образом, общее решение (6.50) нашего уравнения содержит в своем составе произвольный вектор В.
Задача 22. Определение вектора по трем скалярным произведениям. Требуется определить неизвестный вектор 
из системы трех уравнений
где 
— три некомпланарпых вектора.
Умпожив скалярно первое уравнение на 
второе уравнение на — а и сложив их, получим
или
Получеппое уравнение вместе с третьим уравнением исходной системы
образует систему рассмотренного выше типа (6.43). Ее решение (6.44) будет иметь вид
или
Задача 23. Определение вектора r из уравнения
где векторы 
и скаляр X известны. Умножив скалярно наше уравнение на вектор а, мы получим
откуда
Умножим теперь исходное уравнение (6.55) векторно на тот же вектор а:
Развернув векторно-векторное произведение в получившемся уравнении, мы получим
Заменив векторное произведение 
а его выражением из исходного уравнения (6.55), а скалярное произведение 
найденным выше его значением (6.56), мы получим
откуда
Задача 24. Определение коэффициентом разложения.
Требуется определить неизвестные скаляры х, у, z из уравнения
где три пекомнланарных вектора 
и вектор 
считаются известными.
Умножая наше уравнение последовательно на 
мы получим
