§ 4. Основные задачи, связанные с произведениями трех и более векторов

Задача 12. Определение угла между прямой и плоскостью.

а) Угол между прямой и плоскостью есть угол между направляющим вектором прямой и его векторной проекцией на плоскость (рис. 65). Этот угол всегда острый, его синус равен абсолютной величине косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости;

Поэтому формула для угла между прямой и плоскостью

имеет вид

б) Если плоскость определена парой расположенных в пей векторов то сначала находим нормальный вектор:

Формула для угла между прямой и плоскостью приобретает в этом случае вид

Рис. 65.

Замечание. Полученная скалярная функция векторов может быть выражена через попарные скалярные произведения этих векторов (см. формулы (4.32), 4.37)) следующим образом:

Задача 13. Определение угла между двумя плоскостями.

а) Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами и (рис. 66). Поэтому этот угол определится формулой

б) Если плоскости определены парами расположенных в них векторов то сначала находим нормальные векторы:

Рис. 66.

Угол между плоскостями определится в этом случае формулой

Замечание. Полученное выражение для может быть представлено как функция от попарных скалярных произведении векторов (см. формулы (4.32), (5.7)), следующим образом:

Задача 14. Определение направляющего вектора линии пересечения двух плоскостей.

а) Линия пересечения двух плоскостей перпендикулярна к нормальным векторам и этих плоскостей (рис. 67).

Рис. 67.

Рис. 68.

Поэтому векторное произведение нормальных векторов может служить направляющим вектором этой линии:

б) Если плоскости определены парами расположенных в них векторов то сначала находим нормальные векторы:

а затем направляющий вектор линии пересечения:

или

Задача 15. Определение объема тетраэдра. Объем V произвольного тетраэдра равен одной шестой части объема параллелепипеда, построенного на трех ребрах с тетраэдра, исходящих из одной вершины (рис. 68). Следовательно (см. (4.20)),

Замечание. Объем тетраэдра можно выразить через попарные скалярные произведения указанных ребер (см. (4.37)) следующим образом:

Пример. Определим объем V тетраэдра по координатам его вершин

Сначала пайдем три вектора-ребра, исходящие из одной вершины

Эдна шестая часть абсолютной величины векторно скалярного произведения этих векторов и даст искомый объем:

или

Замечание. Полученную формулу можно представить в более симметричном виде. Для этого мы сначала заменим в ней определитель третьего порядка равным ему определителем четвертого порядка:

Такая замена называется окаймлением опре делителя. В совпадении окаймленного определителя с исходным мы непосредственно убедимся, если развернем его по элементам первой строки.

Прибавив теперь к элементам столбцов элементы столбца, предварительно умноженные соответственно на мы получим следующую формулу для вычисления объема тетраэдра по координатам: его вершин:

Задача 16. Определение расстояния от точки до плоскости.

а) Будем предполагать, что известен нормальный вектор плоскости и вектор В, соединяющий какую-либо точку А плоскости с данной точкой (рис. 69).

Рис. 69.

Расстоянием от данной точки до данной плоскости будет являться абсолютная величина проекции вектора на нормальный вектор плоскости т. е.

б) Если даны два вектора в плоскости и вектор В, соединяющий какую-либо точку А плоскости с данной точкой то сначала находим нормальный вектор

а уже затем определяем расстояние от топки до плоскости:

Итак,

Замечание 1. Последнюю формулу можно было получить непосредственно из тех соображений, что высота параллелепипеда равна отношению его объема к площади его основания.

Замечание 2. Расстояние 6 от точки до плоскости выражается через попарные скалярные произведения векторов (см. формулы (4.32), (4.37)) так:

Задача 17. Определение кратчайшего расстояния между двумя прямыми. Будем предполагать, что известны направляющие векторы двух прямых и вектор соединяющий какую-либо точку одной прямой с какой-либо точкой другой прямой (рис. 70).

Рис. 70.

Перемножив векторно направляющие векторы прямых и мы найдем вектор их общего перпендикуляра

Как видно из чертежа, кратчайшее расстояние между нашими прямыми равно абсолютной величипе проекции вектора на вектор

Следовательно,

Замечание. Полученное выражение для кратчайшего расстояния можно представить (см. формулы (4.32), как функцию только от попарных скалярных произведений векторов

Задача 18. Определение проекции вектора на плоскость. Найдем векторную проекцию данного вектора на плоскость с данным нормальным вектором Эта проекция является разностью (рис. 71) между вектором и его векторной проекцией на нормальный вектор

Но мы знаем (задача 7), что векторная проекция вектора на ось равна произведению орта оси на скалярную проекцию вектора:

Вследствие этого

Модуль полученной векторной проекции определяется по теореме Пифагора:

Замечание 1. Если даны два вектора в плоскости то сначала находим нормальный вектор плоскости, т. е.

Рис. 71.

я затем уже проекцию

Замечание 2. Векторную проекцию вектора на плоскость с нормальным вектором можно представить еще так:

или

откуда, пользуясь формулами (5.8), (5.3) и (5.7), получаем разложение проекции по векторам