5. Метод координат.

Теорема об однозначном разложении любого вектора по трем некомнлапарпым векторам (см. предыдущий пункт) позволяет векторы, а вслед за тем и точки пространства определять тройками чисел (координат). Благодаря этому становится возможным широкое применение в векторном исчислении скалярных аналитических методов, оперирующих не с векторами, а с заменяющими их тройками чисел. С другой стороны, становится возможным широкое применение векторной алгебры в аналитической геометрии. дальнейшем эти идеи будут развиты подробно. Сейчас же мы остановимся лишь на их самых общих основах.

Фиксированная тройка некомнлапарных векторов с общим началом в фиксированной точке О называется аффинной координатной системой или аффинным репером пространства. Фиксированная точка О называется началом координат.

Как было показано, всякий вектор может быть однозначно разложен по трем координатным векторам:

Коэффициенты разложения в этой формуле мы обозначили буквой с индексами наверху как это принято в тензорном исчислении.

Итак, всякому вектору К однозначно соответствует тройка чисел тройка его координат — и, обратно, каждой тройке чисел соответствует определенный вектор, имеющий эти числа своими координатами.

Положение всякой точки в пространстве (рис. 20) можно определить ее радиусом-вектором, т. е. вектором соединяющим начало координат О с данной точкой М:

Разложив радиус-вектор точки но координатным векторам, мы онределим его координаты

Координаты радиуса-вектора точки называются в то же время и координатами самой точки

Рис. 26.

Таким образом, каждой точке пространства соответствует определенная тройка чисел (тройка ее кординат) и, обратно, каждой тройке чисел (координат) соответствует определенная точка. В этом заключается первый принцип аналитической геометрии в пространстве.

В следующей главе мы рассмотрим так называемую прямоугольную систему координат, векторами которой служат три взаимно перпендикулярных орта.

Замечание. Формулы разложения и (1.38) коротко записываются так:

или еще короче так: