4. Теорема Остроградского.

Мы перенесем гидромеханическую терминологию на случай произвольного поля и будем говорить, что дивергенция произвольного поля является «расходом поля в данной точке, отнесенным к единице объема». Тогда очень выпукло можно сформулировать теорему Остроградского.

Первая часть формулы Остроградского является потоком поля через замкнутую поверхность ограничивающую область пределом суммы элементарных потоков:

причем элементарные потоки положительны там, где вектор поля направлен наружу области и отрицательны там, где вектор поля направлен внутрь.

Вторая часть формулы Остроградского является тройным интегралом от дивергенции по области ограниченной поверхностью т. е.

Произведение объема частичной области и значения дивергенции в некоторой точке этой области приближенно является расходом поля из частичной области Тройной иптеграл, являющийся пределом суммы этих элементарных расходов, дает, следовательно, расход поля из всей области

Итак, формулу Остроградского можно выразить следующей теоремой.

Теорема Остроградского. Поток поля через замкнутую поверхность равен расходу поля из области ограниченной этой поверхностью.