7. Длина дуги.
При определении кривизны и кручения кривой мы фактически уже пользовались понятием длины дуги кривой линии. Теперь мы это понятие строго определим и выведем формулу для вычисления длины дуги при помощи интеграла.
Пусть соответствие между точками дуги 
линии
и значениями параметра из соответствующего отрезка 
изменения является взаимно однозначным (правильная параметризация). Кроме того, как всегда, будем предполагать, что производная 
существует и непрерывна. Разобьем дугу 
произвольным способом на 
частей точками 
Соединив соседние точки хордами, получим вписанную ломаную (рис. 96).
Рис. 96.
Определение. Длиной 
дуги линии называется предел длины вписанной в нее ломаной при условии, что число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а
максимум их длин стремится к 
причем считается, что 
Разложив вектор 
по ортам координатных осей!
получим
Применив к каждой из получившихся разностей формулу конечного приращения Лаграюка
найдем
Мы получили предел интегральной суммы (с тем несущественным обобщением, что на частичном отрезке 
берется не одна, а три опорные точки 
(см. гл. XIII, § 6), который равен определенному интегралу!
Возвращаясь к векторным обозначениям, мы получим следующую формулу для длины дуги линии
Теорема. Предел отно шения бесконечно малой дуги к стягивающей ее хорде равен единице.
Доказательство. Применив теорему о среднем к определенному интегралу, выражающему длину 
дуги 
получим
Длина хорды, стягивающей эту дугу, равпа
Составив отношение длины дуги к хорде и устремив 
к а, мы получим
