7. Длина дуги.

При определении кривизны и кручения кривой мы фактически уже пользовались понятием длины дуги кривой линии. Теперь мы это понятие строго определим и выведем формулу для вычисления длины дуги при помощи интеграла.

Пусть соответствие между точками дуги линии

и значениями параметра из соответствующего отрезка изменения является взаимно однозначным (правильная параметризация). Кроме того, как всегда, будем предполагать, что производная существует и непрерывна. Разобьем дугу произвольным способом на частей точками

Соединив соседние точки хордами, получим вписанную ломаную (рис. 96).

Рис. 96.

Определение. Длиной дуги линии называется предел длины вписанной в нее ломаной при условии, что число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а

максимум их длин стремится к

причем считается, что

Разложив вектор по ортам координатных осей!

получим

Применив к каждой из получившихся разностей формулу конечного приращения Лаграюка

найдем

Мы получили предел интегральной суммы (с тем несущественным обобщением, что на частичном отрезке берется не одна, а три опорные точки (см. гл. XIII, § 6), который равен определенному интегралу!

Возвращаясь к векторным обозначениям, мы получим следующую формулу для длины дуги линии

Теорема. Предел отно шения бесконечно малой дуги к стягивающей ее хорде равен единице.

Доказательство. Применив теорему о среднем к определенному интегралу, выражающему длину дуги получим

Длина хорды, стягивающей эту дугу, равпа

Составив отношение длины дуги к хорде и устремив к а, мы получим