2. Первая теорема о градиенте.
Градиент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке (рис. 132).
Рис. 132.
Доказательство. На поверхности уровня поля
мы возьмем какую-нибудь точку 
и произвольно проведем через нее линию 
расположенную на поверхности. Эту линию отнесем к длине 
ее дуги. Координаты текущей точки линии будут функциями от 
Так как линия лежит на нашей поверхности уровня, то координаты текущей точки ее удовлетворяют уравнению этой поверхности:
Продифференцировав это тождество по 
мы на основании правила дифференцирования сложной функции получим
или
где вектор
является ортом касательной к линии 
Это соотношение выполняется в любой точке линии 
но мы его будем рассматривать лишь в выбранной точке 
Мы видим, следовательно, что в точке 
градиент перпендикулярен орту касательной 
к произвольно проведенной на поверхности линии 
Таким образом, касательные в точке 
к всевозможным линиям поверхности уровня, проходящим через эту точку, располагаются в одной плоскости, перпендикулярной к градиенту.
Плоскость, в которой располагаются касательные в данной точке 
поверхности к всевозможным линиям, проведенным на поверхности через данную точку 
называется (см. гл. XI, § 3, п. 2) касательной плоскостью поверхности в точке 
Перпендикуляр к касательной плоскости называется нормалью поверхности в точке касания. Следовательно, градиент направлен по нормали поверхности уровня.
