4. Элемент площади поверхности.
Элементом площади 
параметризованной поверхности
называется площадь параллелограмма, построенного на частных дифференциалах 
радиуса-вектора 
текущей точки поверхности по его параметрам. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Поэтому для элемента площади поверхности мы получим формулу
или
Замечание. Мы видим, что элемент площади поверхности (11.49) является подынтегральным выражением в формуле компланации (11.45).
Рис. 128
Теорема. Если дифференциалы 
бесконечно малы, то элемент площади поверхности 
отличается на величину высшего порядка малости по отношению к произведению дифференциалов 
от площади А а элементарного четырехугольника, расположенного на поверхности и ограниченного координатными линиями поверхности, проходящими через точки 
(рис. 128), т. е.
где
Доказательство. Формула компланации дает
причем область интеграции 
изображается на плоскости нараметров 
прямоугольником со сторонами 
(рис. 129).
Рис. 129.
Применив к полученному интегралу теорему о среднем значении и приняв во внимание, что
мы найдем 
где 
некоторая точка на 
. Опираясь на непрерывность функции 
мы получим
что и дает нашу теорему.
