5. Потенциал.

Циркуляция односвязного потенциального поля между фиксированной точкой и текущей точкой по доказанному независит отпути, соединяющего эти точки, и является функцией только от текущих координат

Найдем частные производные этой функции по х, у, z. Дадим аргументу х приращение Тогда точка переместится в новое положение (рис. 174),

Рис. 174.

и мы получим.

Следовательно,

Вдоль отрезка мы имеем

В силу этого

Применив к интегралу теорему о средпем значении, мы найдем

Разделив на и перейдя к пределу при мы получим

Совершенно таким же путем мы вычислим частные производные функции но у и по

На основании полученных формул мы можем вектор поля представить так:

или

Получается следующая

Теорема. Вектор потенциального поля является градиентом некоторой скалярной функции.

Определение. Скалярная функция градиент которой равен вектору потенциального поля, называется потенциалом поля.

Потенциал поля вычисляется, следовательно, по формуле

Замечание. Если к потенциалу поля прибавить константу, то получится потенциал того же поля:

Обратно, два потенциала векторного поля отличаются друг от друга на константу. Действительно, пусть

Тогда

т. е.

или

Итак, если некоторый потенциал данного потенциального поля, то всякий другой потенциал этого же поля имеет вид