при условии, что число
частичных областей
неограниченно растет, а максимум длин их хорд стремится к нулю.
Покажем, что этот, предел суммы существует независимо от способа разбиения области
на частичные области и от. выбора опорных точек на этих частичных областях и что он равен некоторому параметрическому поверхностному интегралу.
Формула компланации (11.44) дает
Применив теорему о среднем значении, получим
Вследствие этого формула (13.42) принимает вид
Отсюда на основании обобщенной основной теоремы о двойном интеграле получим
Обращаясь к определению параметрического поверхностного интеграла. (см. предыдущий пункт), мы можем представить последний двойной интеграл как параметрический поверхностный интеграл:
Здесь анак плюс соответствует случаю, когда нормальный вектор
определяющий рассматриваемую сторону
поверхности
направлен одинаково с вектором
знак минус соответствует противоположному случаю.
Между прочим, легко убедиться, что оба знака будут автоматически учтены, если поверхностный интеграл записать в такой форме:
Замечание 1. Получившийся здесь параметрический поверхностный интеграл (13.45) не зависит от параметризации поверхности, так как он равен пределу поверхностной интегральной суммы, которая никак не связана с параметризацией.
Замечание 2. В общем случае подынтегральная функция
может зависеть не только от радиуса-вектора
текущей точки, по и от других аргументов. Важно только, чтобы эти аргументы однозначно определялись в каждой точке поверхности интеграции
и
зависели от ее параметризации. Это обеспечит независимость интеграла от параметризации поверхности.
Замечание 3. Мы видим, что переход от поверхностного интеграла с поверхностным элементом интеграции
к параметрическому поверхностному интегралу (13.45) совершается заменой элемента интеграции
элементом
Таким образом, под знаком поверхностного интеграла можно пользоваться следующим условным равенством:
Звездочка над знаком равенства указывает имеппо на то обстоятельство, что
можпо заменять на
лишь под знаком поверхностпого интеграла.
Если направление нормального вектора
определяющего рассматриваемую сторону поверхности
совпадает с направлением вектора
то формула (13.46), определяющая элемент интеграции, принимает вид
Следовательно, в этом случае поверхностный элемент интеграции
совпадает с элементом площади поверхности (11.49).