4. Разложение вектора (a, b, c) по векторным произведениям b x с, c x a, а x b
Тройное векторное произведение четырех векторов
можно преобразовать двумя способами.
Во-первых, разложив векторно-векторное произведение внутри квадратных скобок (см. (4.11)) и умножив векторно на четвертый вектор с, получим
Эта формула выражает наше тройное векторное произведение, т. е. произведение (5.4) V типа, через произведения (5.4) II типа.
Во-вторых, разложив тройное векторное произведение как векторно-векторное произведение трех векторов, получим
Эта формула выражает то же самое тройное векторное произведение через произведения (5.4) II и III типов. Сравнив оба выражения (5.14) и (5.15), получим
Отсюда найдем
Эта формула выражает произведение (5.4) III типа через произведения (5.4) II типа.
Замечание. Если векторы 
с некомпланарны, т. е.
то из формулы (5.16) получаем разложение произвольно взятого вектора 
по трем векторным произведениям:
Итак, мы показали, что все произведения четырех векторов выражаются линейно через произведения только двух типов:
