3. Поверхностный интеграл от билинейной формы по произвольной поверхности.

В сформулированном определении требуются однозначность решения уравнения

поверхности относительно и одпочлепность подынтегрального выражения. Устраним эти ограничения.

а) Если для точек поверхности третья координата не является однозначной функцией от аргументов интеграции по при этом поверхность разбивается на конечное число частей для каждой из которых эта однозначность соблюдается (рис. 145), то за поверхностный интеграл распространенный по всей поверхности принимается сумма поверхностных интегралов от той же подынтегральной формы, распространенных по отдельным частям, т. е.

б) Поверхностный интеграл считается равным нулю, если он распространен по цилиндрической поверхности с образующими, параллельными и если при этом подынтегральная функция определена и ограничена на (рис. 146).

Рис. 145.

Рис. 146.

По этой причине из поверхности по которой распространен интеграл могут выбрасываться те ее части, которые являются цилиндрами, параллельными оси

в) За поверхностный интеграл от произвольной билинейной дифференциальной формы, т. е. выражения

принимается сумма поверхностных интегралов от отдельных членов этой формы, т. е.

Замечание 2. Поверхностные интегралы с элементами интеграции определяются аналогично разобранному выше поверхностному интегралу с элементом интеграции

Таким образом, в общем случае поверхностный интеграл является алгебраической суммой двойных интегралов от сложных функций.

4. Основные свойства поверхностного интеграла вытекают из правила выбора знака перед двойным интегралом и из теоремы о разбиении для двойного интеграла.

Свойство 1. Два поверхностных интеграла от одной и той же формы , распространенные по двум противоположным сторонам одной и той же поверхности, отличаются только знаком:

Свойство 2. Если поверхность по которой распространен поверхностный интеграл, разбить на несколько частей то поверхностный интеграл по всей поверхности будет равен сумме поверхностных интегралов по отдельным частям:

Замечание. Кроме текущих координат х, у, z под знак поверхностного интеграла могут входить и другие аргументы, если только в каждой точке произвольно взятой поверхности они имеют определенные значения.

Например, под знак интеграла могут входить частные производные направляющие косинусы нормали к поверхности и т. д.

Надо иметь в виду, что при наличии дополнительных аргументов может отпасть свойство изменения знака интеграла при изменении стороны поверхности