3. Вторая теорема о градиенте.

Производная скаляра поля в данной точке по направлению градиента имеет наибольшее значение и равна модулю градиента.

Доказательство. Градиент поля направлен по нормали поверхности уровня; его орт мы будем обозначать Тогда но формуле (12.12) мы получим

т. е.

По всякому другому направлению производная будет меньше модуля градиента (как его проекция):

4. Примеры.

Пример А. Рассмотрим поле скаляра

а) Поверхности уронил определяются уравнением

т. е. поверхности являются плоскостями, проходящими через ось (рис. 135).

Рис. 135.

Рис. 136.

б) Находим градиент:

в) Найдем производную по направлению к в точке

Пример В. Рассмотрим скалярное поле где есть модуль радиуса-вектора точки поля,

а) Поверхности уровня определяются уравнением

и являются сферами с центром в начале координат (рис. 136).

б) Для определения градиента мы выразим скаляр поля через радиус-вектор:

Найдем полный дифференциал этой функции!

Но, с другой стороны,

Отсюда получаем

в) Производная по направлению в произвольной точке поля имеет вид