4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов а, b, с. Поместим начала всех

четырех векторов в одну точку О (рис. 25). Через конец вектора проведем прямую, параллельную вектору с. до пересечения в точке с плоскостью векторов Через эту точку проведем прямую, параллельную вектору до пересечения в точке с прямой, на которой расположен вектор а. Тогда

Но векторы соответственно коллипеариы векторам Следовательно,

В силу этого получаем

Эта формула и называется формулой разложения вектора по трем некомпланарным векторам

Рис. 25.

Докажем теперь, что полученное разложение единственное. Пусть имеется другое разложение

Вычитание (1.33) из (1.32) дает

Так как векторы с заведомо не компланарны, то все коэффициенты этого линейного соотношения должны быть нулями, т. е.

Следовательно, второе разложение (1.33) совпадает с первым (1.32). Получается следующая

Теорема. Каждый вектор единственным образом раллагается по трем некомпланарным векторам т. е. представляется в виде

Здесь скалярные коэффициенты определяются однозначной называются координатами вектора относительно векторов

Замечание. Из доказанного положения следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Действительно, если три вектора некомпланарны, то четвертый вектор (I по ним разлагается и мы получаем линейную зависимость

Если же четыре вектора компланарны, то каждые три из них, например, связаны нетривиальной линейной зависимостью, которую можно записать так: Отсюда можно получить линейную зависимость четырех векторов