§ 3. Поверхностный интеграл как двойной интеграл от сложной функции

1. Двусторонние поверхности.

К понятию поверхностного интеграла мы приходим, рассматривая двойной интеграл от сложной функции, т. е. интеграл

где подынтегральная функция зависит не только от аргументов интеграции х, у, но и от промежуточного аргумента который сам зависит от них. Необходимая для вычисления интеграла зависимость

изображается в декартовых координатах некоторой поверхностью вследствие чего двойной интеграл от сложной функции называется поверхностным интегралом и обозначается Для уточнения этого определения нам придется начать с понятия двусторонней поверхности.

В дальнейшем мы будем рассматривать только так называемые двусторонние поверхности. Двустороннюю поверхность можно представлять себе в виде непрозрачной ткапи, которая имеет окрашенные

в различные цвета лицевую сторону и изнанку, причем границами этих цветов являются только края ткани.

Заметим, что не все поверхности, как это может показаться на первый взгляд, являются двусторонними. Простейшая модель односторонней поверхности получится, если вырезать из бумаги прямоугольную ленту ABCD (рис. 142), свернуть ее в кольцо и склеить короткие стороны АВ и CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка точкой D.

Рис. 142.

Если полученную кольцеобразную поверхность начать окрашивать с одной стороны, то, постепенно расширяя окраску, мы, не переходя через края, окрасим ее всю так, что неокрашенного места не останется и в каждой точке поверхность окажется окрашенной одним цветом (рис. 143).

Рис. 143.

Всякая замкнутая поверхность, ограничивающая некоторое геометрическое тело, обязательно будет двусторонней: одна ее сторона будет впутрегшей, другая — наружной.

Каждой стороне двусторонней поверхности можно сопоставить и определенное направление нормали к поверхности в любой ее точке. Именно, соответствующую данной стороне поверхности нормаль мы будем считать направленной туда, откуда видна данная сторона поверхности (если ее рассматривать вблизи основания нормали).