3. Поток поля точечного заряда через замкнутую поверхность.

а) Пусть точечный заряд расположен вне области ограниченной поверхностью Тогда по теореме

Остроградского

Но мы показали, что для поля

порожденного точечным зарядом дивергенция равна нулю;

Следовательно, в рассматриваемом случае

б) Пусть теперь заряд расположен в области ограниченной замкнутой поверхностью . В этом случае пользоваться формулой Остроградского уже нельзя, так как не всюду существует в области

Окружим точку О, в которой сосредоточен заряд сферой целиком лежащей в области (рис. 185). Во всех точках поля, лежащих между исходной поверх, ностью и сферой дивергенция поля равна нулю

Рис. 185.

Поэтому потоки поля через эти поверхности одинаковы (гл. XVII, § 2, п. 7):

Для сферы орт нормали совпадает с ортом радиуса-вектора точки:

Обозначив радиус сферы через а, мы на сфере получим

Следовательно,

Подставив это выражение в поверхностный иптеграл, распространенный по сфере, мы получим

Но площадь поверхности сферы равна

Следовательно,

Итак, поток электростатического поля точечного заряда через замкнутую поверхность равен нулю, если поверхность не охватывает заряд, и равен если поверхность охватывает заряд.

Следовательно, в электростатическом поле заряд следует рассматривать как источник с обильностью