§ 2. Ротация поля

1. Символическая формула для ротации.

Постараемся придать весьма громоздкой формуле (16.22), определяющей ротацию поля, более компактный и удобный для запоминания вид. Для этого перепишем ее так:

Непосредственно видно, что правую часть формулы можно записать в виде символического определителя третьего порядка:

В этом определителе среднюю строку занимают операторы частных производных. Чтобы получить развернутое выражение для ротации, достаточно символический определитель развернуть, согласно обычным правилам, по элементам первой строки. При этом только надлежит рассматривать «умножение» символического элемента второй строки на элемент третьей строки как соответствующее дифференцирование.

Символическим представлением ротации в форме определителя третьего порядка (16.24) мы и будем в дальнейшем пользоваться.

2. Инвариантность понятия ротации.

Ротация ноля возникла у нас при выводе формулы Стокса и была определена координатной формулой (16.22). Из этой формулы непосредственно не следует независимость понятия ротации от выбора координатной системы, т. е. не следует, что в каждой точке векторного поля вектор ротации однозначно определяется только самим векторным полем. Мы эту однозначность теперь докажем, т. е. докажем, что понятие ротации есть понятие, определенное внутренними свойствами поля, инвариантное по отношению к выбору системы координат.

Возьмем в векторном поле точку и исходящим из нее единичный вектор . Проведем через точку плоскость, перпендикулярную вектору . На этой плоскости возьмем какую-либо область содержащую точку и окруженную контуром (рис. 168). На основании формулы

Рис. 108.

Сюкса (16.23) мы можем написать

Допустим, что в поло имеются две ротации и являющиеся непрерывными векторными функциями от координат текущей точки поля. Тогда предыдущую формулу (16.25) можно записать двумя способами:

Вычитая из первого равенства второе, получим

Пусть в данной точке скалярное произведение отлично от нуля, например положительно. Так как это скалярное произведение меняется непрерывно, то мы можем окружающую точку область взять столь малых размеров, что внутри нее скалярное произведение будет оставаться положительным во всех точках, а тогда положительным будет и весь интеграл:

Но это противоречит доказанному равенству нулю этого интеграла. Итак

для любой точки и для любого направления а это значит, что

т. е.

Однозначность ротации доказана.

3. Ротация как предел отношения.

Возьмем в векторном поле Сточку и исходящий из нее единичный вектор . Проведем через точку плоскость, перпендикулярную вектору . На этой плоскости построим контур

ограничивающий площадку внутри которой находится данная точка (рис. 168). На основании формулы Стокса мы можем написать

К поверхностному интегралу, распространенному по плоской площадке мы применим теорему о среднем значении. В результате получим

где есть значение ротации в некоторой точке области

Разделив обе части полученной формулы на и предпредположив, что контур стягивается к выбранной точке мы получим

Эта формула определяет проекцию ротации на любое направление бескоординатным образом. Следовательно, фактически она бескоординатным образом определяет и саму ротацию, так как для определения вектора достаточно знать его проекции на три взаимно перпендикулярных направления.

4. Ротация поля скоростей твердого тела.

Скорость произвольной точки твердого тела (10.44) слагается из скорости его фиксированной начальной точки и скорости обусловленной его вращением с мгновенной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через (рис. 169);

Рис. 169.

Вектор соединяющий фиксированную точку тела с его текущей точкой имеет вид

Положив

мы получим из векторной формулы (16.28), определяющей скорость три координатных формулы для проекций этой скорости:

Подчеркнем, что в фиксированный момент времени переменными являются только все остальные величины являются величинами постоянными. Опираясь на это, мы вычислим ротацию поля скоростей

Итак, ротация поля скоростей твердого тела в любой его точке равна удвоенной угловой скорости:

Замечание. Найденный механический смысл ротации имеет гораздо более широкое значение. В гидромеханике показывается, что движение бесконечно малой жидкой частицы в текущей жидкости с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно расчленить на поступательное, вращательное и деформацию. Оказывается, что при таком расчленении ротация поля скоростей

текущей жидкости и дает удвоенную угловую скорость частицы. В отличие от рассмотренного ноля скоростей точек твердого тела, ротация поля скоростей текущей жидкости в каждой точке будет своя.