5. Полные системы инвариантов тетраэдра.

Рассмотрим три такие системы.

а) Заданы длины всех ребер тетраэдра (рис. 74):

Рис. 74.

Рис. 75.

Из треугольников мы находим по этим данным все необходимые попарные скалярные произведения:

По скалярным произведениям мы можем вычислить все инварианты тетраэдра (см. п. 4).

б) Заданы длины ребер, исходящих из вершины О тетраэдра и плоские углы при этой вершине (рис. 75)

Из треугольников мы находим все необходимые скалярные произведения:

в) Заданы длины пяти ребер тетраэдра и двугранный угол против пезаданного ребра:

где двугранный угол при ребре Непосредственно находим:

Таким образом, остается определить скалярное произведение

Рис. 76.

С этой целью сначала определим векторы направленные по высотам треугольников и опущенным на их общую сторону (рис. 76).

Из зтих уравнений находим

Таким образом, векторы разложились но трем векторам При этом

Из формул (6.86) для определяем их квадраты:

Учитывая, что угол между векторами является углом измеряющим данный двугранный угол при ребре мы получим

Теперь, перемножив выражения (6.87) для векторов a и b, мы найдем необходимое скалярное произведение

Итак, все необходимые скалярные произведения найдены (см. формулы (6.85) и

Замечание. В рассматриваемом случае можно взять за базисные векторы не а векторы и через них все выражать.