§ 2. Параметризованная поверхность

1. Векторное параметрическое уравнение поверхности.

Поверхность называется параметризованной, если радиус-вектор ее текущей точки определен как непрерывная функция двух параметров изменяющихся в некоторой области

Знак указывает на то, что точка принадлежит области При этом предполагается, что в каждой точке области (а частные производные непрерывны и неколлинеарны, т. е.

Уравнение (11.16), определяющее радиус-вектор текущей точки поверхности как функцию от параметров называется векторным параметрическим уравнением поверхности (рис. 117). Ясно, что если такое уравнение (11.16) задано, то соответствующая ему поверхность определена и теоретически может быть построена по точкам.

Рис. 117.

Рис. 118.

Каждую пару значений параметров целесообразно рассматривать как пару декартовых координат на вспомогательной плоскости которая называется плоскостью параметров или фазовой плоскостью. Область (а изменения параметров составляет часть этой плоскости (рис. 118). Уравнение поверхности сопоставляет каждой точке области (а определенную точку поверхности . В дальнейшем параметризация будет предполагаться правильной в том смысле, что соответствие между точками поверхности и области (а взаимно однозначное (рис. 117 и 118).