§ 6. Вторая квадратичная форма поверхности

1. Определение второй квадратичной формы поверхности.

Рассмотрим параметризованную поверхность:

Найдем первый и второй полные дифференциалы

радиуса-вектора ее текущей точки:

Полученное выражение для второго дифференциала не является инвариантной квадратичной формой относительно первых дифференциалов параметров вследствие наличия двух добавочных членов Эти члены обращаются в нуль, если параметры являются независимыми аргументами, но они становятся, вообще говоря, добавочными квадратичными формами, если параметры сами оказываются функциями от других аргументов. Добавочные члены являются векторами, которые лежат в касательной плоскости к поверхности в рассматриваемой точке и, следовательно, перпендикулярны орту нормали Умножив скалярно выражение (11.68) для второго дифференциала на орт нормали к поверхности, и приняв во внимание равенство нулю скалярных произведений добавочных членов на перпендикулярный к ним орт нормали мы получим следующую инвариантную квадратичную форму:

Определение. Скалярное произведение полного дифференциала второго порядка радиуса-вектора текущей точки поверхности на орт нормали в этой точке называется второй квадратичной формой поверхности:

В развернутом виде эта формула записывается так:

Формулы для коэффициентов второй квадратичной формы следуют из ранее полученного для нее выражения (11.69)

где

Замечание. Касательные к параметрическим линиям поверхности векторы ортогональны орту нормали поэтому

Продифференцировав каждое из этих тождеств по параметрам и мы получим

На основании этих соотношений мы можем придать формулам (11.71) для коэффициентов второй квадратичной формы следующий вид: