4. Обобщенный криволинейный интеграл.
В общем случае под знак криволинейного интеграла могут входить не только координаты х, у, z текущей точки линии интеграции, по и другие величины, определенные в этой точке. Такими могут быть: а) производные одной текущей координаты по другой например,
различные дифференциально-геометрические величины кривой (кривизна, кручение, направляющие косинусы касательной и т. д.); в) производные от различных определенных на кривой величин по длине дуги кривой и т. д.
Вычисление такого рода обобщенных криволинейных интегралов не представляет никаких принципиальных затруднений и совершается по обычной схеме.
Пусть дан, например, криволинейпый интеграл
распространенный но линии
заданной своими параметрическими уравнениями
причем параметр
меняется монотонно от значения
в начальной точке до значения
в конечной точке
Тогда, обозначая точками производные по параметру
мы найдем
В силу этого наш криволинейный интеграл превращается в следующий определенный интеграл:
Замечание. Для обобщенного криволинейного интеграла не обязательно соблюдение правила изменения знака при изменении направления пути интеграции.