4. Обобщенный криволинейный интеграл.

В общем случае под знак криволинейного интеграла могут входить не только координаты х, у, z текущей точки линии интеграции, по и другие величины, определенные в этой точке. Такими могут быть: а) производные одной текущей координаты по другой например, различные дифференциально-геометрические величины кривой (кривизна, кручение, направляющие косинусы касательной и т. д.); в) производные от различных определенных на кривой величин по длине дуги кривой и т. д.

Вычисление такого рода обобщенных криволинейных интегралов не представляет никаких принципиальных затруднений и совершается по обычной схеме.

Пусть дан, например, криволинейпый интеграл

распространенный но линии заданной своими параметрическими уравнениями

причем параметр меняется монотонно от значения в начальной точке до значения в конечной точке Тогда, обозначая точками производные по параметру мы найдем

В силу этого наш криволинейный интеграл превращается в следующий определенный интеграл:

Замечание. Для обобщенного криволинейного интеграла не обязательно соблюдение правила изменения знака при изменении направления пути интеграции.