§ 3. Касательная плоскость и нормаль

1. Касательные к параметрическим линиям.

Мы знаем, что если радиус-вектор есть функция от одного скалярного аргумента, то его производная по этому аргументу есть вектор, направленный по касательной к линии, которую описывает конец радиуса-вектора. Вследствие этого частные производные от радиуса-вектора текущей точки параметризованной поверхности

по параметрам являются векторами, направленными соответственно по касательным к параметрическим линиям и Отличие от пуля векторного произведения

означает, что касательные к параметрическим линиям определены и не сливаются.

2. Касательная плоскость.

Рассмотрим на поверхности

неособую точку (рис. 121) и проходящую через нее произвольную линию

Рис. 121.

Касательная к этой линии определится производной которую мы вычислим по правилу дифференцирования сложной функции:

Мы видим, что вектор касательной в рассматриваемой точке к нашей линии разлагается по двум неколлинеарным векторам которые касаются параметрических линий в точке Следовательно, касательные в неособой точке поверхности к всевозможным линиям, проведенным на поверхности через эту точку, располагаются в одной плоскости.

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в ее неособой точке называется плоскость, в которой располагаются касательные в этой точке к всевозможным линиям, проведенным на поверхпости через точку.

Таким образом, касательная плоскость определяется лежащими в ней точкой касания и двумя векторами касательными к параметрическим линиям в этой точке.