Глава XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Чрезвычайно большое значение в физике имеют векторные поля, для которых тождественно равпа нулю либо дивергенция, либо ротация, либо и та и другая величины вместе. Изучением этих полей мы и займемся.
§ 1. Потенциальное поле
1. Потенциальное поле как безвихревое поле.
Векторное поле В называется потенциальным, если в каждой его точке ротация равна нулю:
Потенциальное поле называют также безвихревым полем.
Примером потенциального поля может служить электростатическое поле Е (см. гл. XVIII, § 1).
2. Поле градиента.
Рассмотрим произвольное скалярное поле
В каждой точке этого поля единственным образом определяется градиент поля
Следовательно, каждому скалярному полю соответствует определенное векторное поле — поле градиента.
Найдем ротацию поля градиента какой-либо скалярной функции:
Получается следующая
Теорема. Поле градиента любой скалярной функции есть поле потенциальное:
