§ 3. Производная по направлению

1. Определение производной по направлению.

Выясним характер изменения скаляра поля в данном направлении. Пусть в даппой точке поля задан направляющий единичный вектор Через точку проведем произвольную линию касающуюся орта и отнесенную к длине своей дуги (рис. 133):

Сместимся вдоль линии из данной точки в соседнюю точку При таком смещении скаляр поля получит приращение

Предел отношения этого приращения к приращению длины дуги линии и называется производной

Рис. 133.

понанравлению

Итак, производной скаляра поля в данной точке по данному направлению называется предел отношения приращения скаляра при бесконечно малом смещении вдоль произвольно взятой линии, касающейся данного направления в данной точке, к приращению длины дуги линии при этом смещении.

Из определения вытекают два важных факта.

а) Непосредственно ясно, что выражающий производную по направлению предел (12.10) является полной производной скаляра поля по длине дуги когда аргументы х, у, z рассматриваются как функции от определенные линией

Ниже будет показано, что эта производная не зависит от линии а зависит лишь от точки и направления.

б) Для физического истолкования производной по направлению существенно, что по определению она дает в данной точке приращение скаляра в данном направлении, отнесенное к единице перемещения. Это значит, что при малом перемещении производная мало отличается от отношения приращения функции к величине перемещения.