2. Параметрический поверхностный интеграл.

Определенный выше координатный поверхностный интеграл можно записать в иной форме, внеся в него заранее преобразованный элемент интеграции:

Такая форма записи поверхностного интеграла дает основание обобщить его определение следующим образом. Определение. Параметрическим поверхностным интегралом который имеет параметрический элемент интеграции вычисляется от функции зависящей от аргументов распространен по определенной стороне области ориентированной правильно параметризованной поверхности

называется двойной интеграл

в котором:

1) подынтегральная функция получается путем подстановки в подынтегральную функцию поверхностного интеграла выражений аргументов х, у, z из уравнений (13.40) поверхности отнесенной к параметрам

2) областью интеграции (а является область изменения параметров соответствующая поверхностной области (а);

3) перед интегралом выбирается знак плюс, если направление нормального вектора определяющего выбранную сторону поверхности, совпадает с направлением вектора определяющего ориентацию, и знак минус в противном случае.

Определенный таким образом параметрический поверхностный интеграл, вообще говоря, будет зависеть не только от поверхности но и от ее параметризации. Это

зпачит, что если ту же поверхность определить другими параметрическими уравнениями, то параметрический поверхностный интеграл, вообще говоря, изменится. Нас будут интересовать лишь такие поверхностные параметрические интегралы, которые вполне определяются поверхностной областью и не зависят от ее параметризации. Определенный выше координатный поверхностный интеграл как раз дает такой параметрический поверхностный интеграл который ипвариантен относительно преобразования параметров

Общий аналитический критерий независимости параметрического поверхностного интеграла от параметризации поверхностной области достаточно сложен. Мы не будем им заниматься, предлагается каждый раз проверять эту независимость непосредственно.