2. Криволинейный интеграл от линейной формы по произвольной кривой.
Пусть в пространстве, отнесенном к прямоугольной системе координат 
дан направленный отрезок 
некоторой линии (рис. 138),
определенной системой параметрических уравнений
причем параметр 
монотонно меняется между своими значениями 
в начале и в конце данного отрезка.
Пусть, кроме того, задана линейная дифференциальная форма с тремя аргументами 
т. е. выражение вида
где коэффициенты 
являются произвольно заданными функциями от аргументов х, у, z.
Определение. Криволинейным интегралом 
от линейной дифференциальной формы 
вдоль линии 
называется определенный интеграл, у которого:
1) подынтегральным выражением является форма со при условии, что в ней аргументы х, у, z заменены функциями одного параметра 
определенными параметрическими уравнениями линии 
а дифференциалы аргументов 
заменены дифференциалами этих функций;
2) нижним и верхним пределами интеграции являются значения параметра 
соответственно в начальной и конечной точках рассматриваемого отрезка линии 
Итак
Замечание. Если за параметр, к которому отнесена линия интеграции 
криволинейного интеграла от одночленной формы 
примем аргумент интеграции х, то получим
Таким образом, мы вновь пришли к формуле (13.2), определяющей криволинейный интеграл как определенный интеграл от сложной функции, в которую, кроме аргумента интеграции, входит еще два аргумента, являющиеся функциями аргумента интеграции.
