§ 4. Площадь области на поверхности

1. Площадь плоской области.

Площадь плоской области декартовой плоскости Оху (рис. 123) выражается двойным интегралом

Если перейти к новым переменным при помощи преобразования

отображающего взаимно однозначно область на новую область повой декартовой плоскости (рис. 124), то площадь исходной области выразится

Рис. 123.

Рис. 124.

преобразованным двойным интегралом:

Придадим этому интегралу другую форму. Разложим радиус-вектор текущей точки исходной плоскости по ортам осей и найдем его частные производные но новым переменным:

Векторное произведение этих частных производных имеет вид

Вследствие этого формулу (11.38) для площади плоской области можно записать так: