4. Главная нормаль и кривизна. Вторая основная формула.

Орт касательной в произвольной точке, кривой и длина дуги между этой точкой и фиксированной точкой являются геометрическими понятими, не зависящими от способа их определения.

Следовательно, тем же свойством инвариантности обладает и производная орта касательной по дуге Поэтому следует ожидать, что модуль и направление этой производной должны иметь определенный геометрический смысл.

а) Выясним сначала геометрический смысл модуля производной Для этого рассмотрим на нашей кривой (рис. 98) две точки и соответствующие исходному и приращенному значениям дуги, и проведем в них орты касательных Совместим начало соседнего орта - с началом исходного орта с Радианную меру угла между

этими ортами обозначим Приращение орта касательной является основанием равнобедренного треугольника с единичными боковыми сторонами и углом при вершине (рис. 98).

Рис. 98.

Следовательно, модуль этого приращения равен

В силу мы получим

Итак,

Но предел отношения угла между направлениями касательных в данвой точке и в бесконечно близкой точке к длине дуги, заключенной между этими точками, называется кривизной кривой в данной точке и обозначается К (§ 1, п. 5, (8.14)):

Итак,

т. е. модуль производной орта касательной по дуге равен кривизне К кривой.

б) Исследуем теперь направление вектора Продифференцировав по дуге тождество

мы получим

откуда следует, что вектор перпендикулярен к т. е. направлен по одной из нормалей кривой в данной точке.

С другой стороны, вектор вместе с ортом касательной определяют некоторую плоскость, проходящую через рассматриваемую точку Эта плоскость, в которой располагаются производные первого и второго порядков, называется соприкасающейся плоскостью линии .

Итак, вектор направлен по той нормали кршой, которая лежит в соприкасающейся плоскости. Эта нормаль называется главной нормалью (§ 1, п. 4).

Орт вектора обозначается и называется ортом главной нормали.

в) Вектор равен своему модулю К, умноженному на свой орт Записав это, мы и получим вторую основную формулу дифференциальной геометрии линии

Итак, производная орта касательной по дуге равна произведению кривизны линии на орт главной нормали.

г) Из (8.35) непосредственно вытекают формулы для вычисления кривизны и орта главной нормали: