§ 2. Основные формулы дифференциальной геометрии линий в пространстве

1. Дуга как параметр. Дифференциал дуги.

На произвольно взятой линии зафиксируем точку и определенное направление (рис. 97). Длину дуги линии между фиксированной точкой и текущей точкой взятую с определенным знаком, обозначим и условимся коротко называть дугой Дугу будем считать положительной, если текущая точка смещена в положительном направлении по отношению к начальной точке и отрицательной в противном случае.

При этих условиях всякому положению точки будет соответствовать определенное значение дуги Обратно, всякому значению дуги будет соответствовать определенное положение точки а следовательно, и определенный ее радиус-вектор

Рис. 97.

Таким образом, радиус-вектор текущей точки линии является векторной функцией от ее дуги

Следовательно, получилось векторное уравнение линии, в котором роль параметра играет дуга

Рассмотрим модуль производной радиуса-вектора текущей точки кривой но ее дуге:

Мы будем основываться на том факте, что предел отношения длины бесконечно малой дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице:

Этот факт достаточно очевиден, если исходить из интуитивного понятия линии. Выше (гл. VIII, § 1, п. 7) он был строго доказан для правильно параметризованной линии, у которой радиус-вектор текущей точки и его производная являются непрерывными функциями.

На основании этого факта и равенства (8.22) мы заключаем, что модуль производной радиуса-вектора текущей точки линии по ее дуге равен единице:

Отсюда следует:

Итак, абсолютная величина дифференциала дуги пространственной кривой равна модулю дифференциала радиуса-вектора текущей точки кривой.

Замечание 1. При перемещении по кривой в сторопу возрастания дуги дифференциал дуги будет положителен. Следовательно, при таком перемещении знак абсолютной величины в полученной формуле (8.24) можно опустить:

Замечание 2. Если линия отнесена к параметру то обычно полагают

считая тем самым, что знаки совпадают. Это значит, что положительное направление отсчета дуг выбирается в сторону возрастания параметра

Замечание 3. Разложение радиуса-вектора текущей точки линии имеет вид

где координаты текущей точки.

Продифференцировав это равенство, мы получим

откуда найдем дифференциал дуги в координатной форме: