2. Обобщение основной теоремы о кратном интеграле.

Пусть функции определены и непрерывны на некоторой области включая ее границу.

Рис. 151.

Тогда при изменении на областями изменения функций и и будут некоторые замкнутые отрезки

Мы будем рассматривать на декартовой плоскости прямоугольник координаты точек которого изменяются на указанных отрезках (рис. 151).

Пусть функция определена и непрерывна на этом прямоугольнике (включая его границу).

Разобьем область произвольным способом на частичных областей На каждой частичной области выберем произвольно две опорные точки

Обобщенной интегральной суммой для сложной функции по области называется сумма

Теорема. Предел обобщенной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа, делений не зависит ни от способа дробления области, ни от выбора опорных точек на соответствующих частичных областях и равен соответствующему интегралу:

если только при неограниченном увеличении числа делений максимум диаметров всех частичных областей стремится к нулю и если функции непрерывны на соответствующих областях включая их границы.

Доказательство. Рассмотрим абсолютную величину разности между обобщенной интегральной суммой и интегралом:

Воспользовавшись теоремой о разбиении области интеграции, мы представим рассматриваемый интеграл в виде суммы интегралов по частичным областям:

Применив к каждому слагаемому интегралу теорему о среднем значении, получим

Таким образом, мы представили интеграл в виде специальной интегральной суммы, которая соответствует произвольно взятому способу разбиения области и определенному выбору опорных точек на соответствующих частных областях Воспользовавшись этим представлением, мы получим

или

Зададим произвольно Так как функция непрерывна на некотором прямоугольнике включая его границу, то она равномерно непрерывна на нем. Это значит, что для заданного можно указать такое что для любых двух точек и из удовлетворяющих неравенствам

будет выполняться неравенство

С другой стороны, функции также равномерно непрерывны в области Следовательно, для любого фиксированного можно указать такое что для любых трех точек области будут выполняться неравенства

если только расстояния между точками и и между точками и не превосходят

Так как при дроблении области неограниченно уменьшается максимум диаметров частичных областей, то, начипая с некоторого момента (при этот максимум сделается меньше указанного положительного

числа С этого момента начнут выполняться следующие неравенства:

а следовательно, и неравенство

В силу этого, начиная с указанного момента (при мы будем иметь

Итак, при получаем

А отсюда по определению предела следует

Теорема доказана.

Замечание 1. Если полученную формулу, выражающую обобщенную основную теорему, записать в обычных обозначениях для случая, например, двойного интеграла, то она примет вид

Замечание 2. Полученная обобщенная теорема очевидным образом распространяется и на тот случай, когда имеется функция от более чем двух функций, т. е.