§ 2. Криволинейный интеграл как предел криволипейной интегральной суммы

1. Криволинейная интегральная сумма.

Пусть задан отрезок линии и функция непрерывная вдоль него. Разобьем отрезок произвольным способом на частичных отрезков и в каждом частичном отрезке выберем какую-нибудь точку которую назовем опорной точкой (рис. 141).

Сумма произведений длины каждого частичного отрезка на значение данпой функции

в опорной точке сумма

называется криволинейной интегральной суммой, составленной для функции и распространенной по линии

Рис. 141.

2. Основная теорема.

Предел криволинейной интегральной суммы при неограниченном увеличении числа делений и неограниченном уменьшении длины наибольшего частичного отрезка кривой не зависит ни от способа такого дробления, ни от выбора опорных точек и равен кривол инейпому интегралу:

Доказательство. Отнесем линию к дуге

Пусть на концах частичных участков дуга имеет значения а в опорных точках — значения (рис. 141). Тогда мы получим

Но последний предел представляет собой определенный интеграл вида «в

т. е. криволинейный интеграл по линии

Теорема доказана.

Замечание. При доказательстве основной теоремы мы ограничились простейшим случаем, когда подынтегральная функция зависит только от координат текущей точки х, у, z. Однако, теорема сохранится, если в подынтегральную функцию войдут и другие аргументы, принимающие определенные значения в каждой точке произвольно заданной линии. Такими дополнительными аргументами могут, например, быть .