3. Основные свойства криволинейного интеграла.

Из свойств определенного интеграла вытекают следующие основные свойства криволинейного интеграла.

Свойство 1. Если изменить направление пути интеграции, то криволинейный интеграл изменит только свой знак:

Действительно, при изменении направления пути интеграции меняются лишь местами пределы интеграции в определенном интеграле, которому равен криволинейный интеграл, а от этого меняется только знак.

Свойство 2. Если путь, интеграции разбить на несколько участков, то криволинейный интеграл по всему пути будет равен сумме интегралов по всем частичным участкам:

Это свойство непосредственно вытекает из теоремы о разбиении для определенного интеграла.

Свойство 3. Криволинейный интеграл не зависит от выбора параметра, к которому относится линия интеграции.

Действительно, пусть произведено преобразование параметра

Тогда система параметрических уравнений линии

превратится в новую систему уравнений той же линии

В соответствии с этими двумя способами параметризации

линии мы можем паписать два различных выражения для криволинейного интеграла, который будем для простоты считать одночленным:

Выполнив в первом интеграле замену мы получим

По , поэтому

или

т. е., действительно, два выражения для криволинейного интеграла, соответствующие различным способам параметризации, оказываются равными между собой.