3. Теорема Менье.

Рассмотрим на поверхности совокупность линий имеющих общую точку и общую касательную в этой точке (рис. 131). Как только что отмечалось, главные кривизны всех этих линий одинаковы.

Рис. 131.

Найдем связь между их кривизнами К. С этой целью из указанных линий особо выделим одну, называемую нормальным сечением поверхности в точке Это — линия получающаяся в результате сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в точке Нормальная кривизна у нее та же; ее кривизну и орт главной нормали обозначим

Так как нормальное сечение — плоская линия, то ее главная нормаль лежит в секущей плоскости и потому совпадает с нормалью поверхности. Это значит, что либо равны, либо противоположны: Поэтому из (11.74) получаем

Пусть угол между соприкасающейся плоскостью линии и нормалью поверхности или, что то же, острый угол между главной нормалью линии и нормалью поверхности. Очевидно,

Внеся (11.78) в (11.74), будем иметь

Так как кривизны по самому их определению

неотрицательны, то отсюда, учитывая (11.79), получаем

или, что то же,

Величину, обратную кривизне линии, принято называть радиусом кривизны. Обозначим радиусы кривизны произвольной линии и нормального сечения соответственно

Теперь (11.80) можно переписать иначе:

Это и есть теорема Сформулируем ее так: чтобы получить в данной точке радиус кривизны любой линии лежащей на поверхности, надо умножить радиус кривизны нормального сечения, проходящего через ту же точку и имеющего в ней общую с линией касательную, на косинус угла между соприкасающейся плоскостью линии и нормалью поверхности в указанной точке.

Из этой теоремы непосредственно следует: у всех линий на поверхности, имеющих в общей точке общую касательную и общую соприкасающуюся плоскость, кривизна в этой точке одинакова.