4. Законы векторного умножения.

При векторном перемножении уже не все законы обычного умножения сохраняются в неизменном виде: закон переместительпости заменяется законом противопереместительности.

1) Закон противопереместительности. При перестановке множителей векторное произведение меняет только свой знак:

Действительно, оба векторных произведения а а имеют одинаковые модули и оба направлены по перпендикуляру к перемпожаемым векторам Однако направления у них противоположны: произведение направляется в ту сторону, откуда виден происходящим против хода часовой стрелки поворот, совмещающий направление а с направлением произведение же направляется в противоположную сторону, т. е. в ту, откуда виден происходящим против хода часовой стрелки поворот, совмещающий направление 6 с направлением а. Следовательно, произведения а а являются противоположными векторами, т. е.

2) Закон распределительности. Векторное умножение вектора на сумму векторов можно производить почленно:

Для доказательства закона распределительности сначала докажем следующую лемму.

Лемма. Чтобы найти векторное произведение двух векторов достаточно (рис. 47): а) спроектировать первый вектор на плоскость, перпендикулярную второму вектору полученный вектор повернуть в этой плоскости на прямой угол так, чтобы поворот наблюдался происходящим по ходу часовой стрелки с той стороны, куда направлен повернутый вектор умножить на модуль второго множителя Полученный в результате этих трех операций вектор и будет векторным произведением

Рис. 47.

Действительно, направлен перпендикулярно к в ту сторону, откуда поворот от виден происходящим против хода часовой стрелки. Так как то модуль равен т. е. произведению оспования на высоту параллелограмма, построенного на векторах и

которое дает площадь этого параллелограмма. Этим лемма доказана.

Докажем теперь закон распределительности (3.23).

а) Через иачало О вектора с проведем (рис. 48) перпендикулярную к нему плоскость и спроектируем на нее треугольник со сторонами

б) Полученный в проекции треугольник повернем в плоскости вокруг точки О на прямой угол так, чтобы этот поворот наблюдался происходящим но ходу часовой стрелки с той стороны, куда направлен с.

Рис. 48.

в) Все векторы, являющиеся сторонами повернутого треугольника умножим на Получим треугольник подобный треугольнику

На основании доказанной леммы

С другой стороны,

Следовательно,

т. е. закон распределительности доказан.

3) Закон сочетательное и относительно скалярных множителей. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного

произведения, т. е.

Для доказательства достаточно заметить, что модули обоих векторов одинаковы и равны произведению на площадь параллелограмма, построенного на а и b; направления же этих векторов совпадают с направлением вектора когда и противоположны ему, когда (рис. 49).

Рис. 49.