3. Механический смысл производной.

Пусть есть радиус-вектор движущейся в пространстве точки. Он будет функцией времени Рассмотрим два положения этой точки, соответствующие начальному и бесконечно близкому моментам времени Обозначим эти положения (рис. 86). Перемещение точки из начального положения в новое положение характеризуется приращением радиуса-вектора точки

Рис. 86.

Отношение приращения ко времени за которое это приращение произошло, называется средней скоростью перемещения точки. Ее предел при есть вектор который и принимается за скорость точки в данный момент.

Итак, производная радиуса-вектора движущейся точки по времени есть скорость этой точки в данный момент

Замечание. Производную вектора по скалярному аргументу всегда можно истолковать как скорость конца вектора при условии, что его начало находится в фиксированной точке, а аргумент рассматривается как время.

4. Правим дифференцирования вектора по скаляру совпадают с правилами обычного дифференциального исчисления по следующим причинам:

а) определение производной вектора по скаляру совпадает с обычным определением;

б) теоремы о пределах векторных выражений отличаются от обычных теорем о пределах;

в) векторные алгебраические операции подчиняются обычным законам алгебры (кроме переместительности векторного произведения).

Таким образом, мы получаем следующие правила дифференцирования:

Для примера мы проверим справедливость правила дифференцирования векторного произведения. Пусть

Дадим скалярному аргументу приращение тогда функции также получат приращения При этом

Отсюда

Деление на дает

откуда, перейдя к пределу при получим