§ 4. Направляющие косинусы нормали поверхности

1. Поверхность, определенную уравнением

можно рассматривать как поверхность уровпя поля

Градиент этого поля

в любой точке нашей поверхности (§ 2

настоящей главы) направлен по нормали. Здесь значения частных производных левой части уравнения поверхности в рассматриваемой точке

Следовательно, направляющие косинусы нормали поверхности имеют вид

2. Замечание.

Направляющие косинусы нормали поверхности

будут определены лишь в тех точках поверхности, в которых функция дифференцируема и не все частные производные

равны нулю. Если все три частные производные равны нулю, т. е.

то направляющие косинусы нормали, а следовательно, и сама нормаль не определяются.

Точки поверхности, в которых не выполняются указанные условия, называются особыми. Примером такой особой точки может служить вершина конической поверхности.

3. Случай, когда уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты z.

Пусть это уравнение имеет вид

Перенеся все члены в левую часть, мы получим

Сопоставив это уравнение с рассмотренным выше уравнением поверхности

мы можем считать, что в данном случае

Поэтому

Обычно пользуются такими обозначениями:

В этих обозначениях

Следовательно, для направляющих косинусов нормали поверхности мы получим формулы