4. Законы сложения.

Итак, в векторной алгебре геометрическая операция построения замыкающей многоугольника возникла как обобщение операции определения равнодействующей приложеппых к точке сил и была пазвана операцией сложения. Оправданием такому названию служит и то обстоятельство, что эта операция подчиняется всем тем законам, которым подчиняется арифметическая операция сложения чисел. Таких законов два: закон сочетательности и закон

переместительности. Покажем их справедливость при сложспии векторов.

а) Закон сочетательности. Сумма не изменится, если любую группу последовательных слагаемых заменить их суммой.

Для трех слагаемых этот закон выражается формулой

Для доказательства мы из слагаемых векторов с составим многоугольник поместив начало каждого последующего вектора в конец предыдущего (рис. 13).

Рис. 13.

Соединив точки соответственно векторами мы получим, с одной стороны,

с другой стороны,

Следовательно,

т. е. закон сочетательности справедлив для суммы трех слагаемых.

Для доказательства справедливости закона в обще и случае выделим в сумме многих слагаемых какие-либо два последовательных слагаемых Сумму всех предшествующих слагаемых обозначим , тогда вся рассматриваемая сумма запишется так:

Так как закон справедлив для трех слагаемых, то эту

сумму можно записать так:

Тем самым мы доказали возможность объединения двух рядом стоящих слагаемых. Заменяя два последовательных слагаемых их суммой, можно любое число последовательных слагаемых заменить их суммой (рис. 14).

Рис. 14.

Рис. 15.

б) Закон переместительности. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Для двух слагаемых этот закон выражается формулой

Для доказательства построим параллелограмм ABC (рис. 15), две смежные стороны которого и образованы слагаемыми векторами а и b, исходящими из точки О. Тогда

Из треугольников и соответственно следует

Следовательно,

Теперь легко показать справедливость закона переместительности в общем случае. Действительно, при сложении многих векторов два последовательных слагаемых, на основании закона сочетательности, можно объединить и заменить их суммой. По доказанному (см. 1.12)) сумма двух векторов не изменится от перестановки

слагаемых. Следовательно, сумма многих векторов не изменится, если поменять местами соседние слагаемые. Меняя же последовательно местами соседние слагаемые, мы можем как угодно изменить порядок сложения векторов, не изменив суммы.