§ 6. Геометрические инварианты фигур
1. В геометрии с каждой фигурой связываются различные скалярные величины и геометрические образы, характеризующие геометрические свойства фигуры. Так, с треугольником связывается ряд скаляров: его углы, длины сторон, площадь и т. д., а также ряд геометрических образов: биссектрисы углов, медианы, вписанная и описанная окружности и т. д.
Все такие скаляры и образы, связанные с фигурой, характеризуются двумя особенностями:
1) каждый из них однозначно определяется рассматриваемой фигурой и не зависит ни от способа задания этой фигуры, ни от ее расположения относительно других фигур в пространстве;
2) если перемещать фигуру как твердое тело, то связанные с пей скаляры не будут меняться, а присоединенные к ней геометрические образы будут перемещаться вместе с фигурой, не меняя своего относительного расположения. Скаляры и геометрические образы, обладающие указанными особенностями, называют геометрическими инвариантами фигуры.
В аналитической геометрии фигуру определяют при помощи системы координат. При этом определяется и ее положение в пространстве относительно взятой системы координат.
Часто фигуру определяют заданием той или иной системы ее скалярных инвариантов, достаточной для определения фигуры как твердого тела. Такая система скалярных инвариантов называется полной. При помощи нее можно определить все другие инварианты системы. Однако следует иметь в виду, что полная система инвариантов определяет фигуру как твердое тело, но не определяет ее положения в пространстве. Именно так задаются фигуры в элементарной геометрии. Например, треугольник там задается той или иной системой трех независимых инвариантов: длинами трех сторон или длинами двух сторон и углом между ними и т. д. В курсах элементарной
геометрии и тригонометрии уделяется большое внимапие «решению треугольников», т. е. определению различных инвариантов треугольника при помощи той или иной системы трех независимых инвариантов.
Мы рассмотрим векторные методы определения инвариантов простейших фигурз треугольника, тетраэдра и гексаэдра.
