3. Полные системы инвариантов треугольника.

Мы рассмотрим несколько полных систем инвариантов треугольника и покажем, как через них выражаются скалярные произведения через которые в свою очередь, выражаются все остальные инварианты треугольника.

а) Треугольник задап длинами двух сторон и углом между ними.

В этом случае получим

При помощи этих формул можно рассчитать любой инвариант, предварительно выраженный через скалярные произведения. Например, длина высоты будет равна (см.

б) Треугольник задан длинами трех сторон В этом случае мы получим

Для вычисления скалярного произведения мы, возведя в квадрат векторное равенство

получим

откуда

Следовательно, все инварианты треугольника мы можем выразить сначала через скалярные произведения а затем по полученным формулам через длины сторон.

Рис. 73.

в) Треугольник задан стороной и прилежащими к ней углами Для вычисления скалярных произведений проще всего сначала по теореме синусов определить длины остальных сторон:

о затем вычислить указанные произведения: