4. Произвольные векторные функции векторов.
Произвольной векторной функцией от векторных аргументов называется всякая линейная комбинация из рациональных векторных функций этих аргументов с коэффициентами, являющимися любыми скалярными функциями рассматриваемых аргументов. Например,
Вторая основная теорема. Коэффициенты разложения любой векторной функции 
по трем некомпланарным векторам, 
являются скалярными
функциями от этих векторов и от исходных векторных аргументов функции 
Эти скалярные функции могут быть выражены через попарные скалярные произведения указанных векторных аргументов и векторов 
Доказательство. Разложение векторной функции 
по векторам 
имеет вид
Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты х, у, z.
Умножим скалярно обе части формулы разложения (5.31) на 
Учитывая, что векторно-скалярное произведение, содержащее два одинаковых множителя, равно нулю, мы получим
Отсюда находим
Аналогично найдем
Итак, искомое разложение имеет вид
Мы видим, что коэффициенты полученного разложения являются скалярными функциями от векторов 
т. е. от векторов 
и тех векторных аргументов, от которых зависит разлагаемая векторная функция 
Эти коэффициенты на основании первой теоремы можно выразить через попарные скалярные произведения векторов 
ей векторных аргументов функции 
Теорема доказана.
