§ 4. Поверхностный интеграл как предел поверхностной интегральной суммы

1. Поверхностная нптегральная сумма.

Пусть в пространстве, отнесенном к прямоугольной системе координат задана конечная область поверхности (рис. 147), и пусть задана функция от трех аргументов, определенная и непрерывная на области

Рис. 147.

Разобьем область произвольным способом на частичных областей и выберем произвольно в каждой частичной области точку которую назовем опорной точкой для этой области. Сумма произведений площади каждой частичной области на значение данной функции в опорной точке этой области, т. е. сумма

называется поверхностной интегральной суммой, составленной для данной функции и распространенной по данной области поверхности

Будем теперь безгранично правильно дробить область на частичные области, т. е. дробить так, чтобы число частичных областей неограниченно росло, а длина наибольшего из контуров частичных областей стремилась к нулю. При таком дроблении справедлива следующая теорема.

2. Основная теорема.

Предел поверхностной интегральной суммы при неограниченном увеличении числа частичных областей не зависит ни от способа дробления области, ни от выбора опорных точек внутри частичных областей и равен поверхностному интегралу:

где у — угол нормали к поверхности с осью если только функция непрерывна на а способ дробления области правильный.

Доказательство, а) Предположим, что для рассматриваемой области уравнение поверхности однозначно разрешимо относительно

В силу этого

б) По формуле комнланации (см. (11.47)) площадь частичной области равна

где проекция на — угол нормали к в текущей точке. Этот угол является функцией от независимых координат х, у текущей точки:

Применив к двойному интегралу теорему о среднем значении, мы получим

где некоторая точка на отличающаяся, вообще говоря, от проекции опорной точки (рис. 148).

в) Подставив найденные выражения для в поверхностную интегральную сумму, мы приведем ее предел к такому виду:

Последний предел представляет собой двойной интеграл, распространенный по проекции области на

При атом приходится иметь в виду, что утверждение о равенстве предела двумерной интегральной суммы двойному интегралу сохраняется, когда в интегральной сумме участвуют не одна, а две системы опорных точек и Строгое доказательство такого обобщения проведено в следующем параграфе.

г) Удалим в подынтегральном выражении знак абсолютной величины у косинуса и поставим в качестве компенсации перед интегралом соответствующий знак плюс или мипус. Тогда получим

Но полученный двойной интеграл, согласно определению,

Рис. 148.

является поверхностным интегралом по области т. е.

Теорема доказана.

3. Правило преобразования поверхностного интеграла.

Введем для предела поверхностной интегральной суммы особое обозначение:

и будем этот предел называть поверхностным интегралом с поверхностным элементом интеграции

Доказанную выше основную теорему мы можем теперь представить формулой

При доказательстве основной теоремы мы проектировали нашу область на Оху. Ничего не изменится в доказательстве, если за основную координатную плоскость принять или . В соответствии с этим мы получим еще две формулы:

Все эти формулы можно заменить удобным правилом.

Правило. Под знаком поверхностного интеграла можно пользоваться следующими условными формулами:

При этом звездочка над знаком равенства напоминает о том, что указанные формулы применимы только под знаком поверхностного интеграла. Здесь дело обстоит так же, как с заменой на при преобразовании двойного интеграла к новым переменным.

Замечание 1. Площадь области поверхности выражается интегралом

Заменив мы получим обычную формулу компланации

Замечание 2. При доказательстве основной теоремы мы предполагали, что подынтегральная функция зависит только от координат текущей точки поверхности. Ничего не изменится, если туда войдут какие-либо другие аргументы, принимающие в каждой точке произвольно заданной поверхности определенные значения. Например, можно писать

4. Примеры на вычисление поверхностных интегралов.

а) Вычислим

где паружная сторона сферы (рис. 149).

Вычисляем интеграл по верхней полусфере

Вычисляем интеграл по нижней полусфере

Складываем полученные результаты:

б) Вычислим поверхностный интеграл

где треугольная площадка с вершинами причем направление нормали взято то, которое образует острый угол с осью (рис. 150).

Рис. 149.

Рис. 150.

Имеем

Уравнение плоскости имеет вид Из пего находим

Подставив эти выражения в наш интеграл, получим