155. Теорема Дирихле.

Ряд Фурье функции будет сходиться и его сумма будет равна если только сделать некоторые ограничительные предположения относительно функции Мы предположим, во-первых, что функция заданная в промежутке или непрерывна, или имеет внутри этого промежутка лишь конечное число точек разрыва непрерывности. Мы предположим далее, что все эти точки разрыва непрерывности обладают следующим свойством: если есть точка разрыва непрерывности то существуют конечные пределы при стремлении к с: как справа (от ббльших значений), так и слева (от меньших значений). Эти пределы обычно обозначают Такие точки разрыва непрерывности обычно называют точками разрыва первого рода. Предположим, наконец, что весь промежуток можно разбить на конечное число частей таких, что в каждой части меняется монотонно. Указанные выше условия называются обычно условиями Дирихле, т. е. говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке если она или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода, и если, кроме того, промежуток можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых меняется монотонно. Заметим, далее, что на конце нам важен лишь тот предел, к которому стремится при стремлении справа, а потому вместо мы будем писать и точно так же вместо будем писать . Отметим, что пределы эти могут быть различными, но сумма ряда (1) должна быть, конечно, одинаковой при в силу периодичности функций (4).

Одной из основых теорем теории рядов Фурье является следующая:

Теорема Дирихле. Если заданная в промежутке удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле,

то ряд Фурье этой функции сходится во всем промежутке и сумма этого ряда:

1) равна во всех точках непрерывности лежащих внутри промежутка;

2) равна

во всех точках разрыва непрерывности;

3) равна

на концах промежутка, т. е. при

Доказательство этой теоремы будет дано в конце настоящей главы. Сделаем некоторые замечания по поводу формулированной теоремы. Члены ряда (1) суть периодические функции с периодом Поэтому, если ряд сходится в промежутке то он сходится и при всех вещественных значениях и сумма ряда периодически повторяет, с периодом те значения, которые она давала в промежутке

Рис. 110.

Таким образом, если мы пользуемся рядом Фурье вне промежутка то мы должны считать, что функция продолжена вовне этого промежутка периодически с периодом . С этой точки зрения концы промежутка явятся для продолженной таким образом функции точками разрыва непрерывности, если

На рис. 110 изображена функция, непрерывная в промежутке которая при периодическом продолжении дает разрывы непрерывности в силу несовпадения значений на концах промежутка.

При вычислении коэффициентов Фурье часто бывает полезно пользоваться следующей леммой:

Лемма. Если есть четная функция в промежутке то

и если нечетная функция, т. е. то

Доказательство этой леммы было дано в [1, 99].