9. Общий интеграл и особое решение.

Выше мы определили общий интеграл, как решение дифференциального уравнения, содержащее произвольную постоянную. Пусть точка входящая в условие (43), принадлежит области В теоремы А. Изменяя в начальном условии значение мы получим бесчисленное множество решений уравнения (42), и может играть роль произвольной постоянной. При рассмотрении примеров дифференциальных уравнений мы получали общий интеграл, в который произвольная постоянная входила не как начальное значение у.

Понятие общего интеграла, строго говоря, нуждается в дополнительных разъяснениях. Мы не будем этим заниматься, поскольку естественной основою теоретического исследования дифференциальных уравнений является упоминаемая нами выше теорема А. Кроме того, весьма редко удается выразить общий интеграл через элементарные функции или квадратуры. Естественно понимать под общим интегралом такое решение дифференциального уравнения (42), содержащее произвольную постоянную, из которого можно получить все решения, определяемые теоремой А при начальных условиях заполняющих какую-либо область плоскости ХОY. Если общий интеграл получен в неявной форме

то соответствующие значения С определятся уравнением

Пусть имеется общий интеграл уравнения (42) в виде, разрешенном относительно С:

В таком виде он получался для уравнения с отделяющимися переменными. Функция или равенство (52) называются обычно интегралом уравнения (42).

При подстановке в эту функцию вместо у какого-либо частного решения уравнения (42) мы должны получить постоянную величину, т. е. интеграл уравнения (42) есть такая функция и у, полная производная которой по равна нулю в силу уравнения (42).

Беря полную производную по от обеих частей уравнения (51), получим [1, 69]

или, поскольку у есть по предположению решение уравнения (42). заменяя у на получим

Функция должна удовлетворять этому уравнению независимо от того, какое именно решение уравнения (42) мы подставляли в эту функцию. Но в силу произвольности начального условия (43) в теореме существования и единственности значения х и у могут быть какие угодно, если мы берем все решения уравнения (42), т. е. функция должна удовлетворять уравнению (53) тождественно относительно х и у. Покажем, наконец, каким образом можно проверить решение уравнения (42), когда оно дано в неявной форме

Как и выше, получаем уравнение

причем это соотношение должно быть выполнено во всех точках кривой (54), т. е. равенство (55) должно быть выполнено не обязательно тождественно относительно х и у, но лишь в силу равенства (54).

Рассмотрим, например, уравнение

Нетрудно видеть, что окружность

есть решение этого уравнения. Действительно, в данном случае

равенство (55) имеет вид

оно очевидно выполняется в силу уравнения окружности. Покажем, что общий интеграл данного дифференциального уравнения будет

Подставляя в получим

и непосредственно видно, что это равенство выполнено тождественно при всяких .

Уравнение (42) может иметь решения, которые и не заключаются в семействе общего интеграла, т. е. не могут быть получены из формулы (51) ни при каком частном значении С. Такие решения называются обычно особыми решениями. В качестве примера рассмотрим уравнение (18) и его общий интеграл (19). Решение уравнения (18) не заключается в семействе (19). Как мы видели, через каждую точку решения проходит несколько интегральных кривых. Решения, которые принадлежат области В теоремы А, мы не называем особыми. Обычно особыми решениями называют такие интегральные кривые, в каждой точке которых не выполнены условия теоремы существования и единственности. Они не получаются, обычно, из общего интеграла ни при каком численном значении С. В дальнейших примерах мы еще вернемся к ним. Но, как мы и выше указывали, основой дальнейшего будет служить теорема А.