192. Теорема единственности.

Докажем теперь единственность решения волнового уравнения как в случае безграничного пространства, при заданных начальных условиях, так и при наличии еще предельных условий. Для простоты письма будем считать скорость чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравнении t на . Для определенности возьмем случай трех независимых переменных, т. е. волновое уравнение

и начнем с рассмотрения задачи с одними начальными условиями, заданными на всей плоскости:

Мы уже имели раньше решение этой задачи [185]. Из самого метода этого решения можно было бы получить и единственность. Мы дадим сейчас другое доказательство единственности, которое будет применимо и для задачи с предельным условием. Если уравнение (138) с начальными условиями (139) имеет два решения: их и то разность должна удовлетворять уравнению (138) и однородным начальным условиям

Надо показать, что при этом и должно тождественно равняться нулю при любых значениях и при любом . Рассмотрим трехмерное пространство (х, у, t) и возьмем в нем некоторую точку такую, что Из этой точки, как вершины, проведем коническую поверхность

до ее пересечения с плоскостью . Проведем еще плоскость , где и пусть D — трехмерная область, ограниченная

боковой поверхностью Г упомянутого конуса и частями плоскостей находящимися внутри конуса (D — усеченный конус). Нетрудно проверить следующее элементарное тождество:

Проинтегрируем его обе части по упомянутой области D. Интеграл от левой части должен обращаться в нуль, поскольку и является решением уравнения (138). Интеграл правой части мы можем преобразовать в интеграл по поверхности области пользуясь формулой Остроградского:

На нижнем основании усеченного конуса D функция и и все ее частные производные первого порядка, в силу (140), равны нулю, и интеграл (143) по нижнему основанию равен нулю. На верхнем основании (а), лежащем в плоскости мы имеем

На боковой поверхности Г конуса направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению

и интеграл (143) по Г может быть переписан в виде

и мы получим окончательно

На поверхности Г имеем и, следовательно, , а потому

откуда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной частные проиародные первого порядка функции и равны нулю, и, следовательно, сама функция и — постоянна. На основании конуса она равна нулю в силу (140), а следовательно, и равно нулю и в точке N. Приведенное доказательство теоремы единственности без труда может быть распространено и на случай предельной задачи для уравнения (138). Положим, ищется решение уравнения (138) в некоторой области В плоскости при заданных начальных и предельных условиях, причем предельные условия относятся к контуру I области В. Построим цилиндр с основанием с образующими, параллельными оси t. Каждой точке этого цилиндра соответствует определенная точка в области В и определенный момент времени t. Положим, что в области В мы имеем нулевые начальные данные (140) и пусть на контуре I области В мы имеем однородное предельное условие

Докажем, что функция и равна нулю во всех точках упомянутого выше цилиндра. Возьмем такую точку N и проведем через нее конус (141). Пусть D — тело, ограниченное боковой поверхностью этого конуса, упомянутого выше цилиндра и плоскостями и Проинтегрируем опять обе части тождества (142) по этой области. Все рассуждения останутся прежними, но только в правую часть войдет интеграл по боковой поверхности цилиндра. Если этот интеграл окажется равным нулю, то прежнее доказательство теоремы единственности сохранится полностью. В интеграле по боковой поверхности цилиндра подынтегральная функция совпадает с подынтегральной функцией интеграла (143). Но на боковой поверхности цилиндра мы имеем и, кроме того, на этой поверхности Последнее равенство непосредственно вытекает из того факта, что точки боковой поверхности цилиндра представляют собою точки контура в различные моменты времени t, а на контуре I мы имеем при всяком t однородное предельное условие (144). Таким образом подынтегральная функция интеграла (143) обращается в нуль на всей боковой поверхности цилиндра, и приведенное выше доказательство теоремы единственности сохраняется полностью и для формулированной только что предельной задачи. При доказательстве теоремы единственности нам приходилось интегрировать правую часть выражения (142) по области D и применять формулу Остроградского. Эти операции являются вполне законными, если мы предположим, например, что функция и имеет непрерывные производные до второго порядка в D вплоть до границы.

Выше мы упоминали, что при исследовании практически интересных задач сталкиваются с необходимостью вводить в рассмотрение

так называемые обобщенные решения. В томе IV мы покажем, что теорема единственности имеет место и в этом более широком классе обобщенных решений.